W 1916 dr Hugo Steinhaus zainteresował się przypadkowo spotkanym Banachem (przechodzšc Plantami w Krakowie usłyszał dwóch młodych ludzi rozmawiajšcych o poważnej matematyce, według kršżšcej wœród matematyków legendy rozmawiali o całce Lebesgue’a, jednym z nich był Banach). Spotkanie zaowocowało wspólnš publikacjš i wieloletniš współpracš. W 1920 dzięki wstawiennictwu Steinhausa Banach otrzymał asystenturę (do 1922) w Katedrze Matematyki na Wydziale Mechanicznym Politechniki Lwowskiej u prof. Antoniego Łomnickiego. W 1920 (nie majšc dyplomu ukończenia studiów) doktoryzował się na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie na podstawie rozprawy: Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Fundamenta Mathematicae, III, 1922), w której zawarł podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej, nowej dyscypliny matematyki. W 1922 habilitował się na Uniwersytecie Jana Kazimierza (decyzja Rady Wydziału z 30 czerwca) i 22 lipca tego roku otrzymał nominację na profesora nadzwyczajnego, a w 1927 na profesora zwyczajnego tego uniwersytetu. W 1924 został członkiem PAU. W latach 1922–1939 kierował jednym z zakładów w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Jana Kazimierza[2], rozwijajšc – obok dużej aktywnoœci dydaktycznej – wielkš działalnoœć naukowo-badawczš. Stał się wkrótce największym autorytetem w analizie funkcjonalnej. Dokoła niego (spotykajšc się w słynnej kawiarni Szkockiej) skoncentrowała się plejada młodych talentów; wyrosła – pod kierownictwem Steinhausa – nowa, lwowska szkoła matematyczna, która wkrótce, bo już w 1929, zaczęła wydawać własny organ, poœwięcony analizie funkcjonalnej Studia Mathematica. W 1932 ukazało się w druku słynne dzieło Banacha Théorie des opérations linéaires jako pierwszy tom nowego wydawnictwa Monografie Matematyczne, którego był jednym z założycieli. Dzieło to przyczyniło się w dużym stopniu do spopularyzowania osišgnięć Banacha wœród ogółu matematyków i do rozwoju analizy funkcjonalnej. O zainteresowaniu œwiata matematycznego osobš Banacha œwiadczy między innymi fakt powierzenia mu jednego z odczytów plenarnych na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Oslo w 1936. O uznaniu zasług Banacha w kraju œwiadczy też i to, że był kilkukrotnie laureatem nagród naukowych, a w 1939 zostaje wybrany na prezesa Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Był autorem ponad 60 prac naukowych i twórcš wielu twierdzeń o fundamentalnym znaczeniu dla wielu działów matematyki. Styl pracy Banacha, jego niezwykła intuicja naukowa, bezpoœrednioœć i otwartoœć pozwoliły mu (wraz ze Steinhausem) na stworzenie Lwowskiej Szkoły Matematycznej. W 1924 został członkiem-korespondentem Polskiej Akademii Umiejętnoœci, od 1931 członkiem zwyczajnym Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, członkiem przybranym (1923) i członkiem czynnym (1927) Towarzystwa Naukowego we Lwowie, członkiem założycielem (1919) Polskiego Towarzystwa Matematycznego i jego wiceprezesem (1932–1936) oraz prezesem (1939–1945). W 1930 otrzymał nagrodę naukowš miasta Lwowa. W latach 1936–1939 był wiceprzewodniczšcym Komitetu Matematycznego Rady Nauk Œcisłych i Stosowanych. W 1939 PAU przyznała mu wielkš nagrodę.
Po zajęciu Lwowa przez wojska sowieckie (22 wrzeœnia 1939) był profesorem Uniwersytetu Lwowskiego, dziekanem Wydziału Matematyczno-Fizycznego, został też członkiem korespondentem Akademii Nauk Ukraińskiej SRR. Chociaż stronił od polityki, zgodził się zostać delegatem do Lwowskiej Rady Miejskiej. W czasie okupacji niemieckiej (1941–1944) Lwowa, z powodu zamknięcia przez Niemców uczelni wyższych, pozbawiony możliwoœci pracy zawodowej, wraz z wieloma innymi przedstawicielami nauki, kultury, członków ruchu oporu, młodzieży gimnazjalnej i akademickiej we Lwowie był wraz z synem Stefanem, studentem medycyny, karmicielem wszy w Instytucie Badań nad Tyfusem Plamistym i Wirusami profesora Rudolfa Weigla, dzięki czemu posiadał dokument, który skutecznie chronił go przed represjami okupantów. Od 1942 do 1944 był wykładowcš matematyki na Państwowych Technicznych Kursach Zawodowych.
Po ponownym zajęciu Lwowa przez Armię Czerwonš (27 lipca 1944) kontynuował swojš pracę na Uniwersytecie Lwowskim jako kierownik katedry matematyki. Wykładał też w Lwowskim Instytucie Politechnicznym. Mieszkał u zaprzyjaŸnionej rodziny lwowskich kupców Riedlów w ich kamienicy przy ul. Dwernickiego 12. Przygotowywany był jego wyjazd na stałe do Krakowa, gdzie miał podjšć wykłady na UJ. W styczniu 1945 zachorował jednak na raka płuc i wyjazd nie doszedł do skutku. Zmarł 31 sierpnia 1945, został pochowany w grobowcu Riedlów na Cmentarzu Łyczakowskim we Lwowie tuż obok grobu Marii Konopnickiej. Jego pogrzeb, w którym wzięły udział tłumy mieszkańców Lwowa, był wielkš manifestacjš polskiego œrodowiska naukowego, które jeszcze pozostało we Lwowie. Na cmentarzu Łyczakowskim żegnało go 16 mówców.

Banach znany był ze swej niechęci do formalnych procedur akademickich i nie tylko nie skończył studiów, ale i doktorem został w sposób doœć niezwykły. Gdy rozpoczšł pracę we Lwowie, był już autorem wielu doniosłych rezultatów i wcišż uzyskiwał kolejne. Jednak na uwagi, że powinien wkrótce przedstawić pracę doktorskš odpowiadał, że ma jeszcze czas i może wymyœlić coœ lepszego, niż to, co osišgnšł do tej pory. Jego koledzy wymyœlili fortel. Ktoœ spisał najnowsze rezultaty jego pracy, co zostało uznane za znakomitš pracę doktorskš. Przepisy jednak wymagały również egzaminu, którego Banachowi absolutnie nie chciało się zdawać. Ale Banach był entuzjastš dyskusji naukowych więc pewnego dnia zaczepiono Banacha na korytarzu Uniwersytetu Jana Kazimierza: - Czy mógłby pan wpaœć do dziekanatu, sš tam jacyœ ludzie, którzy majš pewne problemy matematyczne, a pan na pewno potrafi im wszystko wyjaœnić. Banach udał się zatem do wskazanego pokoju i chętnie odpowiedział na wszystkie pytania, nieœwiadom tego, że właœnie zdaje egzamin doktorski przed specjalnš komisjš. Lwowscy matematycy, z Banachem na czele, spotykali się systematycznie w kawiarni "Szkockiej" niedaleko uniwersytetu, przy ulicy Akademickiej. Niewštpliwie na tak niezwykle częste wizyty w kawiarni duży wpływ miała osobowoœć i charakter Banacha. Praktycznie cały czas wolny od wykładów spędzał on w kawiarni. Atmosfera gwaru kawiarnianego i zaduchu bardzo mu odpowiadała. Tam mógł bez końca mówić o matematyce, rozwišzywać problemy, stawiać nowe. Rozwišzania zapisywali na papierowych serwetkach i blatach marmurowych stolików, ale po zakończeniu tych długich sesji wszelkie notatki były pieczołowicie wycierane przez obsługę kawiarni. Niejedno twierdzenie w ten sposób zniknęło bezpowrotnie. W końcu żona Banacha kupiła specjalny zeszyt z marmurowš okładkš, w którym bywalcy kawiarni zapisywali stawiane tam problemy. Zeszyt ten, nazwany Księgš Szkockš, znajdował się stale w kawiarni i kelner przynosił go na każde żšdanie matematyków. Każdy, profesor i student, mógł do niej wpisać swój problemat. Księgę tę otwiera zagadnienie na temat przestrzeni metrycznej, które wpisał Stefan Banach 7 lipca 1935 roku. Kończy jš problemat Hugona Steinhausa z 31 maja 1941 roku poœwięcony podziałowi liczby zapałek w pudełku. W latach 1935-1941 uczeni zapisali w Księdze Szkockiej 193 problemy. Znajdowały się wœród nich fundamentalne zagadnienia z analizy funkcjonalnej i doœć błahe łamigłówki o wartoœci zabawowej. Autorami problemów byli najczęœciej wybitni uczeni z kraju i zza granicy i co ciekawe pewne problemy zawarte w niej nie zostały dotychczas rozwišzane. Jednš z najbardziej charakterystycznych cech tej Księgi było to, że autorzy problemów często wyznaczali nagrody za ich rozwišzanie. Von Neumann dla przykładu, który w Księdze Szkockiej zapisał po niemiecku zagadnienie dotyczšce algebry Boole'a i za jego rozwišzanie oferował bliżej nieokreœlonš iloœć whisky, a Stanisław Mazur obiecał za rozwišzanie jednego z zagadnień, które postawił, żywš gęœ. Spotkania w kawiarni bywały niezwykle długie. Wiadomo o siedemnastogodzinnym posiedzeniu, w którego efekcie osišgnięto ciekawy rezultat, niestety zapomniany, gdyż został starty przez kelnera. Niektórzy twierdzš, że nie było to najdłuższe spotkanie i razu pewnego dwaj matematycy tak zapalili się do dyskusji, że przesiedzieli w kawiarni 40 godzin bez przerwy! Kilka razy we Lwowie pojawiał się von Neumann na polecenie twórcy cybernetyki Norberta Wienera, aby namówić Banacha do emigracji naukowej do USA i wykorzystać jego talenty matematyczne do prac dla potrzeb militarnych tak jak było w przypadku Stanisława Ulama (przetłumaczył on po wojnie Księgę Szkockš na język angielski). Podczas trzeciej wizyty von Neumanna - miała ona miejsce w lipcu 1937 roku - Banach spytał: - Ile dolarów proponuje profesor Wiener? - Oto czek - odpowiedział zadowolony Amerykanin, na którym Wiener napisał jedynkę i poprosił, żeby dopisać tyle zer, ile pan uzna za stosowne. Banach uœmiechnšł się ironicznie i spojrzał na amerykańskiego kolegę przenikliwymi, niebieskimi oczami. - To za mała suma, aby opuœcić Polskę... za mała. Był zbyt przywišzany do Lwowa, do przyjaciół, do Kawiarni Szkockiej, do Wschodnich Karpat, do drużyny piłkarskiej "Pogoni", żeby emigrować do Ameryki. Podobno był to jeden z rzadkich momentów, gdy von Neumann nie mógł z siebie wydusić słowa. Banach był œwiadomy swojej wartoœci. Ponoć gdy jego siostra wyjeżdżała do Paryża, dał jej takš mniej więcej radę: - IdŸ do matematyków i powiedz, że jesteœ siostrš Banacha. Wszędzie otworzš Ci drzwi. Stefan Banach nie znosił wszelkich posiedzeń uniwersyteckich. Gdy dostawał zaproszenie na takie posiedzenie, mówił: - Wiem, gdzie nie będę. W roku 1983 podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków, odbywajšcego się w Warszawie, kilku matematyków zagranicznych dowiedziało się, że istnieje w tym mieœcie ulica Banacha, na której jeden z tramwajów ma swój końcowy przystanek. Koniecznie chcieli tę ulicę zobaczyć, udali się więc na niš owym tramwajem. Gdy dotarli do końca, okazało się, że znajduje się tam sporej wielkoœci nie zabudowany obszar. Stwierdzili wówczas zgodnie, że nie jest to "ulica Banacha", ale raczej "przestrzeń Banacha" (przestrzeń Banacha - podstawowe pojęcie analizy funkcjonalnej).